इस प्रकाशन में, हम कक्षा 8 ज्यामिति में मुख्य प्रमेयों में से एक पर विचार करेंगे - थेल्स प्रमेय, जिसे ग्रीक गणितज्ञ और दार्शनिक थेल्स ऑफ मिलेटस के सम्मान में ऐसा नाम मिला। हम प्रस्तुत सामग्री को समेकित करने के लिए समस्या को हल करने के एक उदाहरण का भी विश्लेषण करेंगे।
प्रमेय का कथन
यदि दो सीधी रेखाओं में से किसी एक पर समान खण्डों को मापा जाता है और उनके सिरों से समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो दूसरी सीधी रेखा को पार करते हुए वे उस पर एक दूसरे के बराबर खंडों को काट देंगे।
- A1A2 = ए2A3 ...
- B1B2 =B2B3 ...
नोट: सेकन्ट्स का पारस्परिक प्रतिच्छेदन कोई भूमिका नहीं निभाता है, अर्थात प्रमेय प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं और समानांतर रेखाओं दोनों के लिए सत्य है। खंडों पर खंडों का स्थान भी महत्वपूर्ण नहीं है।
सामान्यीकृत सूत्रीकरण
थेल्स का प्रमेय एक विशेष मामला है आनुपातिक खंड प्रमेय*: समान्तर रेखाएँ समानुपाती खण्डों को खण्डों पर काटती हैं।
इसके अनुसार, ऊपर हमारे चित्र के लिए, निम्नलिखित समानता सत्य है:
* क्योंकि समान खंड, सहित, एक के बराबर आनुपातिकता के गुणांक के साथ आनुपातिक हैं।
व्युत्क्रम थेल्स प्रमेय
1. प्रतिच्छेदन के लिए
यदि रेखाएँ दो अन्य रेखाओं (समानांतर या नहीं) को काटती हैं और ऊपर से शुरू करते हुए उन पर समान या आनुपातिक खंडों को काटती हैं, तो ये रेखाएँ समानांतर होती हैं।
व्युत्क्रम प्रमेय से निम्नानुसार है:
आवश्यक शर्त: समान खंड ऊपर से शुरू होने चाहिए।
2. समानांतर secant . के लिए
दोनों खंडों के खंड एक दूसरे के बराबर होने चाहिए। केवल इस मामले में प्रमेय लागू होता है।
- a || b
- A1A2 =B1B2 = ए2A3 =B2B3 ...
एक समस्या का उदाहरण
एक खंड दिया गया AB सतह पर। इसे 3 बराबर भागों में बाँट लें।
उपाय
एक बिंदु से ड्रा करें A प्रत्यक्ष a और उस पर लगातार तीन बराबर खंड अंकित करें: AC, CD и DE.
चरम बिंदु E एक सीधी रेखा पर a डॉट के साथ जुड़ें B खंड पर। उसके बाद शेष बिन्दुओं के माध्यम से C и D समानांतर BE खंड को प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाएँ खींचिए AB.
खंड AB पर इस प्रकार बने प्रतिच्छेदन बिंदु इसे तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं (थेल्स प्रमेय के अनुसार)।