वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

इस प्रकाशन में, हम दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद को खोजने के तरीके पर विचार करेंगे, एक ज्यामितीय व्याख्या, एक बीजीय सूत्र और इस क्रिया के गुण देंगे, और समस्या को हल करने का एक उदाहरण भी विश्लेषण करेंगे।

ज्यामितीय व्याख्या

दो शून्येतर सदिशों का सदिश गुणनफल a и b एक वेक्टर है c, जिसे के रूप में दर्शाया गया है [a, b] or a x b.

वेक्टर लंबाई c वैक्टर का उपयोग करके निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है a и b.

इस मामले में, c उस तल के लंबवत जिसमें वे हैं a и b, और स्थित है ताकि कम से कम रोटेशन a к b वामावर्त (वेक्टर के अंत के दृष्टिकोण से) प्रदर्शन किया गया था।

क्रॉस उत्पाद सूत्र

वैक्टर का उत्पाद a = {ए_x; सेवा_y,_z} मैं b = {बी_x; ख_y, बी_z} की गणना नीचे दिए गए सूत्रों में से एक का उपयोग करके की जाती है:

क्रॉस उत्पाद गुण

1. दो शून्येतर सदिशों का क्रॉस उत्पाद शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि ये सदिश संरेख हैं।

[a, b] = 0, अगर a || b.

2. दो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का मॉड्यूल इन वैक्टरों द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है।

S_{समानांतर} = |a x b|

3. दो सदिशों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के आधे के बराबर होता है।

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. एक सदिश जो दो अन्य सदिशों का क्रॉस उत्पाद है, उनके लंबवत है।

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (एम a) एक्स a = a एक्स (एम b) = मी (a x b)

7। (a + b) एक्स c = a x c + b x c

एक समस्या का उदाहरण

क्रॉस उत्पाद की गणना करें a = {2; 4; 5} и b = {9; -दो; 3}.

फेसला:

उत्तर: a x b = {19; 43; -42}।