फ़र्मेट की छोटी प्रमेय

इस प्रकाशन में हम पूर्णांकों के सिद्धांत में एक प्रमुख प्रमेय पर विचार करेंगे -  फ़र्मेट की छोटी प्रमेयइसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फर्मेट के नाम पर रखा गया है। हम प्रस्तुत सामग्री को समेकित करने के लिए समस्या को हल करने के एक उदाहरण का भी विश्लेषण करेंगे।

प्रमेय का कथन

1। प्रारंभिक

If p एक अभाज्य संख्या है a एक पूर्णांक है जो से विभाज्य नहीं है pफिर a^पी-1 - 1 द्वारा विभाजित p.

यह औपचारिक रूप से इस तरह लिखा गया है: a^पी-1 1 (विरुद्ध p).

नोट: एक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जो केवल XNUMX से विभाज्य है और बिना शेष के।

उदाहरण के लिए:

• a = 2
• p = 5
• a^पी-1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15
• संख्या 15 द्वारा विभाजित 5 शेष के बिना।

2। विकल्प

If p एक अभाज्य संख्या है, a कोई पूर्णांक, तब a^p उसकी तुलना में a प्रपत्र p.

a^p ≡ ए (विरुद्ध p)

सबूत खोजने का इतिहास

पियरे डी फर्मेट ने 1640 में प्रमेय तैयार किया, लेकिन इसे स्वयं साबित नहीं किया। बाद में, यह एक जर्मन दार्शनिक, तर्कशास्त्री, गणितज्ञ आदि गॉटफ्रीड विल्हेम लाइबनिज़ द्वारा किया गया था। ऐसा माना जाता है कि उनके पास पहले से ही 1683 तक सबूत थे, हालांकि यह कभी प्रकाशित नहीं हुआ था। यह उल्लेखनीय है कि लाइबनिज ने स्वयं प्रमेय की खोज की, यह नहीं जानते हुए कि यह पहले से ही तैयार किया गया था।

प्रमेय का पहला प्रमाण 1736 में प्रकाशित हुआ था, और यह स्विस, जर्मन और गणितज्ञ और मैकेनिक, लियोनहार्ड यूलर का है। फ़र्मेट का छोटा प्रमेय यूलर के प्रमेय का एक विशेष मामला है।

एक समस्या का उदाहरण

किसी संख्या का शेषफल ज्ञात कीजिए 2¹² on 12.

उपाय

आइए एक संख्या की कल्पना करें 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए फ़र्मेट की छोटी प्रमेय से हमें यह प्राप्त होता है:

2¹¹ 2 (विरुद्ध 11).

अत, 2⋅2¹¹ 4 (विरुद्ध 11).

तो संख्या 2¹² द्वारा विभाजित 12 के बराबर शेष के साथ 4.