फ़ंक्शन की सीमा क्या है

इस प्रकाशन में, हम गणितीय विश्लेषण की मुख्य अवधारणाओं में से एक पर विचार करेंगे - एक फ़ंक्शन की सीमा: इसकी परिभाषा, साथ ही व्यावहारिक उदाहरणों के साथ विभिन्न समाधान।

किसी फ़ंक्शन की सीमा निर्धारित करना

कार्य सीमा - वह मान जिस पर इस फ़ंक्शन का मान तब जाता है जब उसका तर्क सीमित बिंदु तक जाता है।

सीमा रिकॉर्ड:

• सीमा को आइकन द्वारा दर्शाया गया है लिम;
• नीचे यह जोड़ा जाता है कि फ़ंक्शन का तर्क (चर) किस मूल्य पर जाता है। आमतौर पर यह x, लेकिन जरूरी नहीं, उदाहरण के लिए:x→1″;
• तब फ़ंक्शन स्वयं दाईं ओर जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए:

  

इस प्रकार, सीमा का अंतिम रिकॉर्ड इस तरह दिखता है (हमारे मामले में):

इस तरह पढ़ता है "फ़ंक्शन की सीमा के रूप में x एकता की ओर जाता है".

x→ 1 - इसका मतलब है कि "x" लगातार उन मूल्यों को लेता है जो असीम रूप से एकता तक पहुंचते हैं, लेकिन इसके साथ कभी मेल नहीं खाएंगे (यह नहीं पहुंचा जाएगा)।

निर्णय सीमा

दी गई संख्या के साथ

आइए उपरोक्त सीमा को हल करें। ऐसा करने के लिए, बस इकाई को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें (क्योंकि x→1):

इस प्रकार, सीमा को हल करने के लिए, हम पहले दी गई संख्या को उसके नीचे के फ़ंक्शन में आसानी से प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (यदि x एक विशिष्ट संख्या की ओर जाता है)।

अनंत के साथ

इस मामले में, फ़ंक्शन का तर्क असीम रूप से बढ़ता है, अर्थात, "एक्स" अनंत (∞) की ओर जाता है। उदाहरण के लिए:

If x→∞, तो दिया गया फलन शून्य से अनंत (-∞) की ओर प्रवृत्त होता है, क्योंकि:

• 3 - 1 = 2
• ५ - ९ = ४
• ५ - ९ = ४
• 3 - 1000 - 997 आदि।

एक और अधिक जटिल उदाहरण

इस सीमा को हल करने के लिए, बस मानों को बढ़ाएँ x और इस मामले में फ़ंक्शन के "व्यवहार" को देखें।

• RSёRџ x = 1, y = 1² + 3 · 1 - 6 = -2
• RSёRџ x = 10, y = 10² + 3 · 10 - 6 = 124
• RSёRџ x = 100, y = 100² + 3 · 100 - 6 = 10294

इस प्रकार, के लिए "एक्स"अनंत की ओर झुकाव, कार्य x² + 3x - 6 अनिश्चित काल तक बढ़ता है।

अनिश्चितता के साथ (x अनंत की ओर जाता है)

इस मामले में, हम सीमाओं के बारे में बात कर रहे हैं, जब फ़ंक्शन एक भिन्न होता है, जिसके अंश और हर बहुपद होते हैं। जिसमें "एक्स" अनंत की ओर जाता है।

उदाहरण: आइए नीचे दी गई सीमा की गणना करें।

उपाय

अंश और हर दोनों के व्यंजक अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं। यह माना जा सकता है कि इस मामले में समाधान इस प्रकार होगा:

हालांकि, सब इतना आसान नहीं है। सीमा को हल करने के लिए हमें निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1। खोज x अंश के लिए उच्चतम शक्ति तक (हमारे मामले में, यह दो है)।

2. इसी प्रकार, हम परिभाषित करते हैं x हर के लिए उच्चतम शक्ति (दो के बराबर भी)।

3. अब हम अंश और हर दोनों को विभाजित करते हैं x वरिष्ठ डिग्री में। हमारे मामले में, दोनों मामलों में - दूसरे में, लेकिन अगर वे अलग थे, तो हमें उच्चतम डिग्री लेनी चाहिए।

4. परिणामी परिणाम में, सभी भिन्न शून्य हो जाते हैं, इसलिए उत्तर 1/2 है।

अनिश्चितता के साथ (x एक विशिष्ट संख्या की ओर जाता है)

अंश और हर दोनों बहुपद हैं, हालाँकि, "एक्स" एक विशिष्ट संख्या की ओर जाता है, अनंत तक नहीं।

इस मामले में, हम सशर्त रूप से इस तथ्य के लिए अपनी आँखें बंद कर लेते हैं कि हर शून्य है।

उदाहरण: आइए नीचे दिए गए फ़ंक्शन की सीमा पाएं।

उपाय

1. सबसे पहले, संख्या 1 को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें, जिससे "एक्स". हम जिस फॉर्म पर विचार कर रहे हैं उसकी अनिश्चितता हमें मिलती है।

2. इसके बाद, हम अंश और हर को गुणनखंडों में विघटित करते हैं। ऐसा करने के लिए, आप संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, यदि वे उपयुक्त हैं, या।

हमारे मामले में, अंश में व्यंजक की जड़ें (2x² - 5x + 3 = 0) संख्या 1 और 1,5 हैं। इसलिए, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: 2(एक्स-1)(एक्स-1,5).

हर (एक्स-1) शुरू में सरल है।

3. हमें ऐसी संशोधित सीमा मिलती है:

4. भिन्न को कम किया जा सकता है (एक्स-1):

5. यह केवल सीमा के अंतर्गत प्राप्त व्यंजक में संख्या 1 को प्रतिस्थापित करने के लिए रहता है: