रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली

इस प्रकाशन में, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की एक प्रणाली की परिभाषा पर विचार करेंगे, यह कैसा दिखता है, इसके प्रकार क्या हैं, और यह भी कि इसे एक विस्तारित सहित मैट्रिक्स रूप में कैसे प्रस्तुत किया जाए।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की परिभाषा

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली (या संक्षेप में "SLAU") एक ऐसी प्रणाली है जो आम तौर पर इस तरह दिखती है:

• m समीकरणों की संख्या है;
• n चर की संख्या है।
• x₁, एक्स₂,…, एक्स_n - अनजान;
• a₁₁,₁₂…, एक_mn - अज्ञात के लिए गुणांक;
• b₁, बी₂,…, बी_m - मुक्त सदस्य।

गुणांक सूचकांक (a_ij) इस प्रकार बनते हैं:

• i रैखिक समीकरण की संख्या है;
• j वह चर की संख्या है जिससे गुणांक संदर्भित करता है।

SLAU समाधान - ऐसे नंबर c₁, सी₂,…, सी_n , जिसकी स्थापना के बजाय x₁, एक्स₂,…, एक्स_n, सिस्टम के सभी समीकरण पहचान में बदल जाएंगे।

एसएलएयू के प्रकार

1. सजातीय - सिस्टम के सभी मुक्त सदस्य शून्य के बराबर हैं (b₁ = बी₂ = … = बी_m = 0).

   

2. विजातीय - यदि उपरोक्त शर्त पूरी नहीं होती है।
3. चौकोर - समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, अर्थात एम = एन.

   

4. अनिर्धारित - अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक है।

   

5. ओवरराइड चर से अधिक समीकरण हैं।

   

समाधानों की संख्या के आधार पर, SLAE हो सकता है:

1. संयुक्त कम से कम एक समाधान है। इसके अलावा, यदि यह अद्वितीय है, तो प्रणाली को निश्चित कहा जाता है, यदि कई समाधान हैं, तो इसे अनिश्चित कहा जाता है।

   

   उपरोक्त SLAE संयुक्त है, क्योंकि कम से कम एक समाधान है: एक्स = 2, वाई = 3.

2. असंगत सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

   

   समीकरणों के दाएँ पक्ष समान हैं, लेकिन बाएँ पक्ष नहीं हैं। इस प्रकार, कोई समाधान नहीं हैं।

सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन

SLAE को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है:

कुल्हाड़ी = बी

• A अज्ञात के गुणांक द्वारा गठित मैट्रिक्स है:

  

• X - चर का स्तंभ:

  

• B - मुक्त सदस्यों का स्तंभ:

  

उदाहरण

हम नीचे मैट्रिक्स रूप में समीकरणों की प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं:

उपरोक्त रूपों का उपयोग करके, हम गुणांक के साथ मुख्य मैट्रिक्स, अज्ञात और मुक्त सदस्यों के साथ कॉलम बनाते हैं।

मैट्रिक्स रूप में दिए गए समीकरणों की प्रणाली का पूरा रिकॉर्ड:

विस्तारित SLAE मैट्रिक्स

यदि सिस्टम के मैट्रिक्स के लिए A दायीं ओर मुक्त सदस्य कॉलम जोड़ें B, डेटा को एक लंबवत बार से अलग करते हुए, आपको SLAE का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है।

उपरोक्त उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

- विस्तारित मैट्रिक्स का पदनाम।