स्टीवर्ट का प्रमेय: समाधान के साथ सूत्रीकरण और उदाहरण

इस प्रकाशन में, हम यूक्लिडियन ज्यामिति के मुख्य प्रमेयों में से एक पर विचार करेंगे - स्टीवर्ट की प्रमेय, जिसे अंग्रेजी गणितज्ञ एम। स्टीवर्ट के सम्मान में ऐसा नाम मिला, जिन्होंने इसे साबित किया। हम प्रस्तुत सामग्री को समेकित करने के लिए समस्या को हल करने के एक उदाहरण का भी विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

प्रमेय का कथन

दान त्रिकोण एबीसी. उसकी तरफ से AC मुद्दा लेना D, जो ऊपर से जुड़ा है B. हम निम्नलिखित संकेतन स्वीकार करते हैं:

• एबी = ए
• ईसा पूर्व = बी
• बीडी = पी
• एडी = एक्स
• डीसी = और

इस त्रिभुज के लिए, समानता सत्य है:

प्रमेय का अनुप्रयोग

स्टीवर्ट के प्रमेय से, एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ और समद्विभाजक ज्ञात करने के लिए सूत्र निकाले जा सकते हैं:

1. समद्विभाजक की लंबाई

चलो l_c द्विभाजक पक्ष की ओर खींचा गया है c, जो खंडों में विभाजित है x и y. आइए त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं को इस प्रकार लें a и b… इस मामले में:

2. माध्य लंबाई

चलो m_c क्या माध्यिका नीचे की ओर है c. आइए त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं को इस प्रकार निरूपित करें a и b… फिर:

एक समस्या का उदाहरण

त्रिभुज दिया गया एबीसी। साइड पर एसी 9 सेमी के बराबर, मुद्दा लेना D, जो पक्ष को विभाजित करता है ताकि AD दुगना लम्बा DC. शीर्ष को जोड़ने वाले खंड की लंबाई B और बिंदु D, 5 सेमी है। इस स्थिति में, गठित त्रिभुज अब्द समद्विबाहु है। त्रिभुज की शेष भुजाएँ ज्ञात कीजिए एबीसी.

उपाय

आइए चित्र के रूप में समस्या की स्थितियों को चित्रित करें।

AC = AD + DC = 9 सेमी. AD लंबे समय तक DC दो बार, अर्थात् AD = 2DC.

नतीजतन, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX सेमी. इसलिए, DC = 3 सेमी, AD = 6 सेमी.

क्योंकि त्रिभुज अब्द - समद्विबाहु, और भुजा AD 6 सेमी है, इसलिए वे बराबर हैं AB и BDIe AB = 5 सेमी.

बस ढूंढ़ना बाकी है BC, स्टीवर्ट के प्रमेय से सूत्र प्राप्त करना:

हम ज्ञात मानों को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस तरह, BC =52 ≈ 7,21 सेमी.