एक जटिल संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति में बढ़ाना

इस प्रकाशन में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि कैसे एक सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाया जा सकता है (डी मोइवर सूत्र का उपयोग करने सहित)। सैद्धांतिक सामग्री बेहतर समझ के लिए उदाहरणों के साथ है।

किसी सम्मिश्र संख्या को घात में बढ़ाना

सबसे पहले, याद रखें कि एक जटिल संख्या का सामान्य रूप होता है: जेड = ए + द्वि (बीजगणितीय रूप)।

अब हम सीधे समस्या के समाधान के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

वर्ग संख्या

हम समान कारकों के उत्पाद के रूप में डिग्री का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और फिर उनके उत्पाद को ढूंढ सकते हैं (याद रखते हुए कि i² = -1).

z² = (ए + द्वि)² = (ए + द्वि) (ए + द्वि)

उदाहरण 1:

z=3+5i

z² = (3+5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

आप इसका उपयोग भी कर सकते हैं, अर्थात् योग का वर्ग:

z² = (ए + द्वि)² = a² + 2 ए ⋅ द्वि + (द्वि)² = a² + 2abi - b²

नोट: इसी प्रकार, यदि आवश्यक हो, तो अंतर के वर्ग, योग / अंतर के घन आदि के सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं।

नौवीं डिग्री

एक सम्मिश्र संख्या उठाएँ z प्रकार में n बहुत आसान है अगर इसे त्रिकोणमितीय रूप में दर्शाया जाए।

याद रखें कि सामान्य तौर पर, किसी संख्या का अंकन इस तरह दिखता है: जेड = |जेड| (cos + i ⋅ sin φ).

घातांक के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं डी मोइवर का सूत्र (इसलिए अंग्रेजी गणितज्ञ अब्राहम डी मोइवर के नाम पर):

zⁿ = | जेड |ⁿ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

सूत्र त्रिकोणमितीय रूप में लिखकर प्राप्त किया जाता है (मॉड्यूल गुणा किया जाता है, और तर्क जोड़े जाते हैं)।

उदाहरण 2

एक सम्मिश्र संख्या उठाएँ z = 2 (cos 35° + i ⋅ sin 35°) आठवीं डिग्री तक।

उपाय

z⁸ = 2⁸ (cos(8 35°) + i ⋅ sin(8 35°)) = 256 (cos 280° + i sin 280°).