एक सम्मिश्र संख्या का मूल निकालना

इस प्रकाशन में, हम यह देखेंगे कि आप एक सम्मिश्र संख्या का मूल कैसे ले सकते हैं, और यह भी कि यह द्विघात समीकरणों को हल करने में कैसे मदद कर सकता है, जिसका विवेचक शून्य से कम है।

एक सम्मिश्र संख्या का मूल निकालना

वर्गमूल

जैसा कि हम जानते हैं, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या का मूल लेना असंभव है। लेकिन जब जटिल संख्याओं की बात आती है, तो यह क्रिया की जा सकती है। आइए इसका पता लगाते हैं।

मान लें कि हमारे पास एक नंबर है जेड = -9. के लिए √-9 दो जड़ें हैं:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

आइए समीकरण को हल करके प्राप्त परिणामों की जांच करें z² = -9, यह नहीं भूलना i² = -1:

(-3i)² = (-3)² मैं² = 9 (-1) = -9

(९i)² = 3² मैं² = 9 (-1) = -9

इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि -3 आई и 3i जड़ें हैं √-9.

ऋणात्मक संख्या का मूल आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

√-1 = ± मैं

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i इत्यादि

n . की शक्ति का मूल

मान लीजिए हमें फॉर्म के समीकरण दिए गए हैं जेड = ⁿ√w… यह है n जड़ें (z₀, की₁, की₂,…, ज़ू_N-1), जिसकी गणना नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

|डब्ल्यू| एक सम्मिश्र संख्या का मॉड्यूल है w;

φ - उनका तर्क

k एक पैरामीटर है जो मान लेता है: के = {0, 1, 2,…, एन-1}.

जटिल जड़ों वाले द्विघात समीकरण

ऋणात्मक संख्या का मूल निकालने से uXNUMXbuXNUMXb का सामान्य विचार बदल जाता है। यदि विभेदक (D) शून्य से कम है, तो वास्तविक मूल नहीं हो सकते हैं, लेकिन उन्हें सम्मिश्र संख्याओं के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण

आइए समीकरण हल करें x² - 8x + 20 = 0.

उपाय

ए = 1, बी = -8, सी = 20

डी = बी² - 4ac = ५ - ९ = ४

डी <0, लेकिन हम अभी भी नकारात्मक विवेचक की जड़ ले सकते हैं:

√D =-16 = ±4i

अब हम जड़ों की गणना कर सकते हैं:

x_1,2 = (-बी ±D)/2ए = (8 ± 4आई)/2 = 4 ± 2i.

इसलिए, समीकरण x² - 8x + 20 = 0 दो जटिल संयुग्म जड़ें हैं:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 - 2i