इस प्रकाशन में, हम विचार करेंगे कि गाऊसी पद्धति क्या है, इसकी आवश्यकता क्यों है, और इसका सिद्धांत क्या है। हम एक व्यावहारिक उदाहरण का उपयोग करके यह भी प्रदर्शित करेंगे कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए विधि को कैसे लागू किया जा सकता है।
गॉस विधि का विवरण
गॉस विधि हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चर के क्रमिक उन्मूलन की शास्त्रीय विधि है। इसका नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1885) के नाम पर रखा गया है।
लेकिन पहले, हमें यह याद रखना चाहिए कि SLAU कर सकता है:
- एक ही समाधान है;
- समाधान की एक अनंत संख्या है;
- असंगत हो, यानी कोई समाधान नहीं है।
व्यावहारिक लाभ
गॉस विधि एक SLAE को हल करने का एक शानदार तरीका है जिसमें तीन से अधिक रैखिक समीकरण शामिल हैं, साथ ही सिस्टम जो वर्ग नहीं हैं।
गॉस विधि का सिद्धांत
विधि में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:
- सीधे - समीकरणों की प्रणाली के अनुरूप संवर्धित मैट्रिक्स, पंक्तियों के ऊपर ऊपरी त्रिकोणीय (चरणबद्ध) रूप में कम हो जाता है, अर्थात मुख्य विकर्ण के नीचे केवल शून्य के बराबर तत्व होना चाहिए।
- वापस - परिणामी मैट्रिक्स में, मुख्य विकर्ण के ऊपर के तत्व भी शून्य (निचले त्रिकोणीय दृश्य) पर सेट होते हैं।
SLAE समाधान उदाहरण
आइए गॉस विधि का उपयोग करके नीचे दिए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें।
उपाय
1. आरंभ करने के लिए, हम SLAE को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत करते हैं।
2. अब हमारा काम मुख्य विकर्ण के तहत सभी तत्वों को रीसेट करना है। आगे की कार्रवाई विशिष्ट मैट्रिक्स पर निर्भर करती है, नीचे हम उन लोगों का वर्णन करेंगे जो हमारे मामले पर लागू होते हैं। सबसे पहले, हम पंक्तियों को स्वैप करते हैं, इस प्रकार उनके पहले तत्वों को आरोही क्रम में रखते हैं।
3. पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति से दो बार घटाएँ, और तीसरी से - पहली को तिगुनी करें।
4. दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें।
5. पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाएँ, और साथ ही तीसरी पंक्ति को -10 से विभाजित करें।
6. पहला चरण पूरा हो गया है। अब हमें मुख्य विकर्ण के ऊपर अशक्त तत्वों को प्राप्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति से तीसरे को 7 से गुणा करें, और तीसरे को 5 से गुणा करके दूसरी में जोड़ें।
7. अंतिम विस्तारित मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:
8. यह समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है:
उत्तर: रूट SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.