सेवा का प्रमेय: समाधान के साथ सूत्रीकरण और उदाहरण

इस प्रकाशन में, हम एफ़िन ज्यामिति के शास्त्रीय प्रमेयों में से एक पर विचार करेंगे - सेवा प्रमेय, जिसे इतालवी इंजीनियर जियोवानी सेवा के सम्मान में ऐसा नाम मिला। हम प्रस्तुत सामग्री को समेकित करने के लिए समस्या को हल करने के एक उदाहरण का भी विश्लेषण करेंगे।

प्रमेय का कथन

त्रिभुज दिया गया एबीसी, जिसमें प्रत्येक शीर्ष विपरीत दिशा में एक बिंदु से जुड़ा होता है।

इस प्रकार, हमें तीन खंड मिलते हैं (ए.ए.', बी बी' и सीसी'), जिन्हें कहा जाता है केवियन.

ये खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल तभी जब निम्नलिखित समानता हो:

|तथा'| |नहीं'| |सीबी'| = |ई.पू.'| |खिसक जाना'| |एबी'|

प्रमेय को इस रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है (यह निर्धारित किया जाता है कि बिंदु किस अनुपात में पक्षों को विभाजित करते हैं):

सेवा का त्रिकोणमितीय प्रमेय

नोट: सभी कोने उन्मुख हैं।

एक समस्या का उदाहरण

त्रिभुज दिया गया एबीसी डॉट्स के साथ प्रति', बी ' и सी ' किनारों पर BC, AC и AB, क्रमश। त्रिभुज के शीर्ष दिए गए बिंदुओं से जुड़े हुए हैं, और गठित खंड एक बिंदु से गुजरते हैं। उसी समय, अंक प्रति' и बी ' संगत विपरीत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं पर लिया जाता है। ज्ञात कीजिए कि बिंदु किस अनुपात में है सी ' पक्ष विभाजित करता है AB.

उपाय

आइए समस्या की स्थितियों के अनुसार एक चित्र बनाएं। हमारी सुविधा के लिए, हम निम्नलिखित संकेतन अपनाते हैं:

• एबी' = बी'सी = ए
• बीए' = ए'सी = बी'

यह केवल सेवा प्रमेय के अनुसार खंडों के अनुपात की रचना करने और इसमें स्वीकृत संकेतन को स्थानापन्न करने के लिए बनी हुई है:

भिन्नों को कम करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

अत, एसी' = सी'बी, यानी बिंदु सी ' पक्ष विभाजित करता है AB आधे में।

इसलिए, हमारे त्रिभुज में, खंड ए.ए.', बी बी' и सीसी' माध्यिका हैं। समस्या को हल करने के बाद, हमने सिद्ध किया कि वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (किसी भी त्रिभुज के लिए मान्य)।

नोट: Ceva के प्रमेय का उपयोग करके, कोई यह साबित कर सकता है कि त्रिभुज में एक बिंदु पर, समद्विभाजक या ऊँचाई भी प्रतिच्छेद करते हैं।