विषय-सूची
इस प्रकाशन में, हम मैट्रिक्स के रैंक की परिभाषा के साथ-साथ उन तरीकों पर विचार करेंगे जिनके द्वारा इसे पाया जा सकता है। हम व्यवहार में सिद्धांत के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करने के लिए उदाहरणों का भी विश्लेषण करेंगे।
मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना
मैट्रिक्स रैंक पंक्तियों या स्तंभों की इसकी प्रणाली का रैंक है। किसी भी मैट्रिक्स की अपनी पंक्ति और स्तंभ रैंक होती है, जो एक दूसरे के बराबर होती है।
पंक्ति प्रणाली रैंक रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या है। कॉलम सिस्टम की रैंक इसी तरह निर्धारित की जाती है।
टिप्पणियाँ:
- शून्य मैट्रिक्स का रैंक (प्रतीक द्वारा दर्शाया गया "θ") किसी भी आकार का शून्य है।
- किसी भी शून्येतर पंक्ति सदिश या स्तंभ सदिश की रैंक एक के बराबर होती है।
- यदि किसी भी आकार के मैट्रिक्स में कम से कम एक तत्व है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो उसकी रैंक एक से कम नहीं है।
- मैट्रिक्स की रैंक उसके न्यूनतम आयाम से अधिक नहीं होती है।
- मैट्रिक्स पर किए गए प्राथमिक परिवर्तन इसकी रैंक नहीं बदलते हैं।
एक मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना
फ्रिंजिंग माइनर विधि
एक मैट्रिक्स की रैंक एक गैर-शून्य के अधिकतम क्रम के बराबर होती है।
एल्गोरिथ्म इस प्रकार है: नाबालिगों को निम्नतम क्रम से उच्चतम तक खोजें। अगर नाबालिग nवां क्रम शून्य के बराबर नहीं है, और बाद के सभी (एन + १) 0 के बराबर हैं, इसलिए मैट्रिक्स की रैंक है n.
उदाहरण
इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक व्यावहारिक उदाहरण लें और मैट्रिक्स की रैंक पाएं A नीचे, नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि का उपयोग करना।
उपाय
हम 4 × 4 मैट्रिक्स के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए, इसकी रैंक 4 से अधिक नहीं हो सकती है। साथ ही, मैट्रिक्स में गैर-शून्य तत्व हैं, जिसका अर्थ है कि इसकी रैंक एक से कम नहीं है। तो चलो शुरू करते है:
1. जांच शुरू करें दूसरे क्रम के अवयस्क. शुरू करने के लिए, हम पहले और दूसरे कॉलम की दो पंक्तियाँ लेते हैं।
माइनर शून्य के बराबर है।
इसलिए, हम अगले नाबालिग पर जाते हैं (पहला कॉलम रहता है, और दूसरे के बजाय हम तीसरा लेते हैं)।
नाबालिग 54≠0 है, इसलिए मैट्रिक्स की रैंक कम से कम दो है।
नोट: यदि यह नाबालिग शून्य के बराबर निकला, तो हम निम्नलिखित संयोजनों की और जाँच करेंगे:
यदि आवश्यक हो, तो तारों के साथ उसी तरह से गणना जारी रखी जा सकती है:
- 1 और 3;
- 1 और 4;
- 2 और 3;
- 2 और 4;
- 3 और 4।
यदि दूसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर थे, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर होगी।
2. हम लगभग तुरंत एक नाबालिग को ढूंढ़ने में कामयाब रहे जो हमें सूट करता है। तो चलिए आगे बढ़ते हैं तीसरे क्रम के अवयस्क.
दूसरे क्रम के पाए गए नाबालिग में, जिसने गैर-शून्य परिणाम दिया, हम एक पंक्ति जोड़ते हैं और हरे रंग में हाइलाइट किए गए कॉलम में से एक (हम दूसरे से शुरू करते हैं)।
नाबालिग जीरो निकला।
इसलिए, हम दूसरे कॉलम को चौथे में बदलते हैं। और दूसरे प्रयास में, हम एक नाबालिग को खोजने का प्रबंधन करते हैं जो शून्य के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स की रैंक 3 से कम नहीं हो सकती है।
नोट: यदि परिणाम फिर से शून्य हो जाता है, तो दूसरी पंक्ति के बजाय, हम चौथी पंक्ति को आगे ले जाएंगे और "अच्छे" नाबालिग की खोज जारी रखेंगे।
3. अब यह तय करना बाकी है चौथे क्रम के अवयस्क पहले जो पाया गया था उसके आधार पर। इस मामले में, यह वह है जो मैट्रिक्स के निर्धारक से मेल खाता है।
माइनर 144≠0 के बराबर है। इसका मतलब है कि मैट्रिक्स की रैंक A बराबर 4।
एक मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में घटाना
एक चरण मैट्रिक्स की रैंक इसकी गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। यही है, हमें बस इतना करना है कि मैट्रिक्स को उचित रूप में लाना है, उदाहरण के लिए, का उपयोग करना, जैसा कि हमने ऊपर उल्लेख किया है, इसके रैंक को नहीं बदलते हैं।
उदाहरण
मैट्रिक्स की रैंक पाएं B नीचे। हम एक अत्यधिक जटिल उदाहरण नहीं लेते हैं, क्योंकि हमारा मुख्य लक्ष्य केवल व्यवहार में पद्धति के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करना है।
उपाय
1. सबसे पहले, दूसरी पंक्ति से पहले दोगुने को घटाएं।
2. अब पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से घटाकर चार से गुणा करें।
इस प्रकार, हमें एक चरण मैट्रिक्स मिला जिसमें गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या दो के बराबर होती है, इसलिए इसकी रैंक भी 2 के बराबर होती है।