त्रिभुज की माध्यिका की परिभाषा और गुण

इस लेख में, हम एक त्रिभुज की माध्यिका की परिभाषा पर विचार करेंगे, उसके गुणों को सूचीबद्ध करेंगे, और सैद्धांतिक सामग्री को समेकित करने के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरणों का भी विश्लेषण करेंगे।

त्रिभुज की माध्यिका की परिभाषा

मंझला एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के एक शीर्ष को उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है।

• BF माध्यिका पक्ष की ओर खींची गई है AC.
• वायुसेना = एफसी

आधार माध्यिका - त्रिभुज की भुजा के साथ माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु, दूसरे शब्दों में, इस भुजा का मध्यबिंदु (बिंदु) F).

औसत गुण

संपत्ति 1 (मुख्य)

क्योंकि यदि किसी त्रिभुज में तीन शीर्ष और तीन भुजाएँ हों, तो क्रमशः तीन माध्यिकाएँ होती हैं। वे सभी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैंO), जिसे कहा जाता है केन्द्रक or त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र.

माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर, उनमें से प्रत्येक को ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है। वे।:

• एओ = 2OE
• बीओ = 2OF
• सीओ = 2ओडी

संपत्ति 2

माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले 2 त्रिभुजों में विभाजित करती है।

S₁ = एस₂

संपत्ति 3

तीन माध्यिकाएँ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले 6 त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।

S₁ = एस₂ = एस₃ = एस₄ = एस₅ = एस₆

संपत्ति 4

सबसे छोटा माध्यिका त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा से मेल खाती है, और इसके विपरीत।

• AC सबसे लंबी भुजा है, इसलिए माध्यिका BF - कम से कम।
• AB सबसे छोटी भुजा है, इसलिए माध्यिका CD - सबसे लंबा।

संपत्ति 5

मान लीजिए कि हम त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानते हैं (आइए उन्हें के रूप में लें) a, b и c).

औसत लंबाई m_aओर खींचा हुआ a, सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

कार्यों के उदाहरण

टास्क 1

त्रिभुज में तीन माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बनने वाली आकृतियों में से एक का क्षेत्रफल 5 सेमी . है². त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उपाय

ऊपर चर्चा की गई संपत्ति 3 के अनुसार, तीन माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप, क्षेत्रफल के बराबर 6 त्रिभुज बनते हैं। फलस्वरूप:

S_△ = एक्सएनएनएक्स सेमी² 6 = 30 सेमी².

टास्क 2

त्रिभुज की भुजाएँ 6, 8 और 10 सेमी हैं। भुजा की ओर खींची गई माध्यिका ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाई 6 cm है।

उपाय

आइए संपत्ति 5 में दिए गए सूत्र का उपयोग करें: